=1751.= 群的伟大概念……尽管在一百年前才刚刚进入人们的意识，但在此期间已成为一个具有根本重要性和惊人创造力的概念。它不仅为一门宏伟的学说——群论——提供了基础，而且还因此成为一种联结纽带，一种类似结缔组织，更确切地说，像一个庞大的脑脊髓系统，将众多截然不同的学说作为同一机体的器官联结在一起。——凯塞尔·c.J.《科学、哲学与艺术讲座》（纽约，1908年），第12页。
群之伟念……百年前初入人思，迄今已成至要且丰产之概念。不仅为群论这一宏大学说立基，更化为纽带，类乎结缔之组织，或曰庞大脑脊之系，联众异说为一体之器官。——凯塞尔·c.J.
《科学、哲学与艺术讲录》（纽约，光绪三十四年），十二页。
=1752.= 近年来，一种观点日益盛行：数学的许多分支不过是特殊群的不变量理论。——李·索菲斯《连续群——舍费尔斯》（莱比锡，1893年），第665页。
近岁，一说日盛：数学多支，皆特殊群之不变量论也。——李·索菲斯
《连续群——舍费尔斯》（莱比锡，光绪十九年），六百六十五页。
=1753.= 许多数学家对泛代数持怀疑态度，认为它缺乏内在的数学趣味，作为研究工具也相对无用……但可以证明，泛代数与数学的其他任何分支一样，都值得作为严肃的数学研究对象。——怀特海·A.N.《泛代数》（剑桥，1898年），序言，第vi页。
众数学家疑泛代数，谓其无内在数理之趣，为研之器亦寡用……然可证，泛代数与数学他支同，当为严肃之研对象。——怀特海·A.N.
《泛代数》（剑桥，光绪廿四年），序，第六页。
=1754.= 事实上，（函数）理论是由柯西创立的；但除了他自己的研究之外，该理论起初进展缓慢且迟疑。如今，可以说其基本思想几乎支配着连续量分析的大多数领域。它为其中许多领域带来了全新的视角，揭示了它们之间前所未知的联系。如今，或许没有任何学科能像它这样，拥有如此丰富多样的方法和旺盛的创造力；它的活力惊人，而其新颖性也同样引人注目。——福赛思·A.R.《英国科学促进协会主席致辞》（1897年）；《自然》杂志，第56卷，第378页。
实则（函数）理论创自柯西；然除其自研，初时进展缓滞。今者，其基本理念几宰制连续量分析之众域。彼为多域开新视，揭前所未知之联系。当今之世，恐无学如之，具丰法与盛创造力；其活力惊人，新颖亦夺目。——福赛思·A.R.
《英国科学促进协会主席致辞》（光绪廿三年）；《自然》杂志，卷五十六，三百七十八页。
=1755.= 请允许我再提一下这一理论（复变函数论）对某些超出我们研究范围的知识所做的贡献。在魏尔斯特拉斯重建该理论的过程中，人们对其基础进行了严格修正，由此引入了关于数与连续性的新思想。在他以及受他影响的其他人那里，一门新的高等算术应运而生；随着这门算术的发展，人们对数与量的一般概念也同时有了更清晰的阐释……由此可见，就像柏拉图、笛卡尔、莱布尼茨或康德所处的时代一样，纯粹数学的活力再次为更好地理解那些构成宇宙哲学概念基础的时间、空间、数与量的概念提供了帮助。——福赛思·A.R.《英国科学促进协会主席致辞》（1897年）；《自然》杂志，第56卷，第378页。
容余再言此论（复变函数论）于吾辈研域外之识所献。魏尔斯特拉斯重建此论时，严正其基，引入数与连续性之新思。在彼及受其影响者，新高等算术生焉；随其发展，人对数与量之通念亦更明……由此观之，如柏拉图、笛卡尔、莱布尼茨、康德之时，纯数学之活力再助世人悟时空、数、量之念——此乃宇宙哲学概念之基。——福赛思·A.R.
《英国科学促进协会主席致辞》（光绪廿三年）；《自然》杂志，卷五十六，三百七十八页。
第十八章 几何学
1801. 图形科学是最壮丽、最优美的。但它被冠以“几何学”这个名称，多么不恰当啊！——弗里施林努斯，N. 《对话1》
图形学之妙，至壮丽而优美。然冠以之名，何其谬哉！——弗里施林努斯，N. 《对话一》
1802. 柏拉图说，上帝一直在进行几何推演。——普鲁塔克 《会饮篇》，第8卷，2章
柏拉图曰：神恒治几何。——普鲁塔克 《会饮篇》八卷二章
1803. 不懂几何者，不得入内。——柏拉图 采自策策斯《千行诗集》，8卷，972行
不通几何者，勿入吾门。——柏拉图 出策策斯《千行诗》八卷九七二行
1804. 所有权威都认为，他（柏拉图）把几何学或某门精确科学的学习当作哲学学习不可或缺的预备课程。他学园入口处的铭文写着“不懂几何者，不得入内”，据说有一次，一个不懂几何的申请者被拒绝入学。——鲍尔，w. w. R. 《数学史》（伦敦，1901年），第45页
诸家咸谓：柏拉图以几何或他术之精研，为哲学之先务。其学馆门题曰不通几何者勿入，尝有不学几何者求入，竟被拒焉。——鲍尔，w. w. R. 《数学史》（伦敦，1901年）四十五页
1805. 形式与大小是所有真理探索的基础。——帕克，F. w. 《教育学谈话》（纽约，1894年），第72页
形与量者，探求真知之本也。——帕克，F. w. 《教育学语》（纽约，1894年）七十二页
1806. 目前，这门科学（几何学）与几何学家所使用的语言存在明显矛盾，但凡对这门学问有所了解的人，几乎都不会否认这一点：因为他们说起求正方形的边、作图、叠加等等，就好像在从事某种实际事务，仿佛他们所有的命题都有一个实际的目的；然而事实上，这门科学的研究完全是为了知识本身。
他说，当然是这样。
那么，是不是还得进一步承认一点？
承认什么？
承认几何学所追求的知识是关于永恒存在的事物，而不是关于易逝和短暂的事物。
这很容易被接受。毫无疑问，几何学是关于永恒存在之物的知识。
那么，我可敬的朋友，几何学将会把灵魂引向真理，塑造哲学的思维，扶起那如今不幸被放任倒下的东西。——柏拉图 《理想国》（乔维特-戴维斯译本），第7卷，第527页
1806. 今观此学（几何），与几何家所用之言，相悖甚明，稍习者皆知之：盖其言求方、作图、叠加之类，若营实务，仿佛其论皆有实用；实则此学专求知识而已。
对曰：诚然。
曰：更有当认者乎？
曰：何者？
曰：几何所求之知，在永恒之物，非关倏忽之态。
此说易容。几何者，固是求永恒之知也。
然则，吾友，几何能引灵魂向真，育哲学之心，扶起今之颓坠者也。——柏拉图 《理想国》（乔维特-戴维斯译）七卷五二七页
1807. 在他们（希腊人）当中，几何学享有最高的荣誉：没有什么比数学更光荣的了。但我们却把这门艺术的用途局限于测量和计算。——西塞罗 《图斯库兰辩论集》，1卷，2章，5节
希腊人中，几何最尊，莫有逾数学者。然吾辈竟限其用于量算而已。——西塞罗 《图斯库兰论辩》一卷二章五节
1808. 几何学，让人懂得长度、宽度、深度、高度的技巧。——高厄，约翰 《情人的忏悔》，第7卷
几何之术，使人知长短、广狭、深浅、高下。——高厄，约翰 《情人忏悔》七卷
1809. 几何真理在某种意义上是物理真理的渐近线，也就是说，物理真理会无限接近几何真理，却永远无法完全达到。——达朗贝尔 引自勒比尔《数学与数学家》（巴黎，1898年），第10页
几何之真，犹物理之渐近线也，物理之真虽渐逼之，终不能至。——达朗贝尔 见勒比尔《数学与数学家》（巴黎，1898年）十页
1810. 几何学展示了逻辑策略的最完美范例。——巴克尔，h. t. 《英国文明史》（纽约，1891年），第2卷，第342页
几何者，逻辑之至善范例也。——巴克尔，h. t. 《英国文明史》（纽约，1891年）二卷三四二页
1811. 几何学的荣耀在于，它从外部汲取的原理如此之少，却能成就如此之多。——牛顿 《自然哲学的数学原理》，序言
几何之荣，在取诸外者寡，而成事甚多。——牛顿 《自然哲学之数学原理》序
1812. 几何学是将严密的逻辑应用于空间和图形的那些自明属性之上，因此这些属性是无可争议的。但这门科学的严谨性更进一步：因为任何属性，无论多么明显，只要能够证明，就不允许不经证明而被接受。因此，问题在于用尽可能少的假设来证明所有的几何真理。——德·摩根，A. 《论数学的学习与困难》（芝加哥，1902年），第231页
几何者，以严逻辑施于空间图形之自明性，故无可争。然其严谨更进：凡可证者，虽显亦必证之。故欲以最少假设，证尽几何之真也。——德·摩根，A. 《论数学之学与难》（芝加哥，1902年）二三一页
1813. 几何学是一门真正的自然科学：只是比其他任何科学都更简单，因而也更完美。我们不能因为它可以应用数学分析，就认为它是一门纯粹的逻辑科学，与观察无关。几何学家所研究的每一个物体都呈现出一些原始现象，这些现象无法通过推理发现，只能来自观察本身。——孔德，A. 《实证哲学》（马蒂诺译本），第1卷，第3章
几何者，真自然之学也：唯简于他学，故更完备。不可因其能用算学，便谓纯逻辑之学，无关观察。几何家所究之物，皆有初象，非推理可得，必由观察也。——孔德，A. 《实证哲学》（马蒂诺译）一卷三章
1814. 几何学在每一个命题中所表达的语言，是经验永远不敢说出口的；事实上，经验对这种语言的含义也只是一知半解。经验看到这些断言是真实的，但它看不到这些真理是多么深刻和绝对。它毫不犹豫地认同几何学所给出的定律，但它并不声称明白这些定律的约束力源自何处。它总是愿意承认纯粹科学原理的支配地位这一事实，但它从不妄想就这些原理的权威合法性发表自己的意见；更不用说它能理直气壮地将那种权威的来源归到自己身上了。——惠威尔，威廉 《归纳科学哲学》，第一部分，第1卷，第6章，第1节（伦敦，1858年）
几何每论所言，皆经验所不敢言，且经验亦仅半解其义。经验见其言真，然不知其真之深邃绝对。经验不疑几何之律，然不明其力之所自。经验虽认纯学原理之治，然不敢论其权之当否；更不能妄归其权源于己也。——惠威尔，威廉 《归纳科学哲学》第一部分一卷六章一节（伦敦，1858年）
1815. 几何学是一门为了让人理解和掌握事物外在关系而创立的科学；它能让这类关系的解释、描述以及这种掌握能力的传递变得容易。——霍尔斯特德，G. b.
《美国科学促进会会报》（1904年），第359页
几何者，所以明物之外在关系、使人体之而宰之也；亦所以便其释、述，传其术也。——霍尔斯特德，G. b.
《美国科学促进会会录》（1904年），三百五十九页