对此，史密斯先生毫不在意：他坚持出版，于是这本书就摆在了我们面前。史密斯先生还算有点风度，用E.m.隐藏了他那位好心指导者的名字，也就是说，他把这错误分摊给了所有可能被怀疑曾试图完成那件毫无希望的任务——即往他脑袋里灌输一点点理智——的人。他违背了私人交往的礼仪。他不顾那位接手他案子的好心人的意愿，公布了那些本意只是为了清除他可怜脑袋里那个无望的妄想的信件。他理应受到最严厉的鞭挞；而且他会得到的：他这种滥用信任的行为将伴随他一生。这倒不是说他（在意图上再次）对他的恩人造成了什么伤害。E.m.以惊人的耐心将那些谬误整理成可理解的形式，并以非凡的毅力试图找到一个能让普通理性钻进去的缝隙——这些努力不止是值得尊敬：它们是令人钦佩的。我们可以向E.m.保证，像这本书这样彻底地暴露求圆积者的本性，是件好事。他本想给予詹姆斯·史密斯先生的好处，或许可以惠及他人。而且我们非常想知道他的真名，如果征得他同意，我们将予以公布。至于詹姆斯·史密斯先生，我们只能这么说：他并没有疯。疯子是在错误的前提下进行正确推理：而史密斯先生则是在毫无前提的情况下进行错误推理。
E.m.很快就发现，从所有迹象来看，史密斯先生得出周长是直径3又1\/8倍的圆，是通过先假设存在这样一个圆，然后推导出某些结果，而这些结果碰巧又与推导它们所依据的假设并不矛盾。错误有时是自洽的。然而，E.m.为了彻底弄清他的依据，写了一封短信，陈述了他所理解的史密斯先生的假设，其中包含以下内容：以Ac为直径，作圆d，根据假设，该圆的周长应等于Ac长度的三又八分之一倍……在进一步讨论之前，我请求确认我是否正确地陈述了您的论证。 对此，史密斯先生回复道：您极其准确地陈述了我的论证。尽管如此，E.m.还是继续了下去，在上述情况之后，我们不禁将E.m.这两个字母看作是Everlasting mercy的缩写。然而，最后，当史密斯先生直截了当地否认圆的面积介于内接和外切多边形的面积之间时，E.m.彻底败下阵来，放弃了这项任务。史密斯先生得以自由地撰写他的序言，谈论真理的必然胜利——奇怪的是，这也是所有无可救药的错误者共有的慰藉；将自己比作伽利略；并向世人揭露皇家天文学家的固执行为——史密斯曾想与他深入交谈，而后者回答说：先生，听您谈论这样一个主题的任何言论，都是浪费时间。
如此处理了詹姆斯·史密斯先生之后，我们接下来就此主题略作评论：一家期刊本不会主动探讨这样的主题，但由于那些自以为是者不断试图让旁人相信他们的谬误，使得这类评论变得时而必要。对于数学家，我们无话可说：问题在于，能向广大世人提供何种保证，证明那些邪恶的数学家并非串通一气来压制他们的优越者——詹姆斯·史密斯先生，这位当今化圆为方领域的伽利略。
首先让我们注意到，这个问题并非孤例：且不说高等数学中存在的数百万类似问题，单是求正方形的对角线，就面临着完全相同的困难，即出现一对线段，其中一条无法用另一条明确地表示出来。我们将向那些懂得乘法表的读者展示，他如何可以不断、不断、不断地逼近，却永远无法精确得到由边长求正方形对角线的方法。
请按照以下描述写下这几行数字，如果愿意，还可以继续写下去：
1 2 5 12 29 70 169 408 985
1 3 7 17 41 99 239 577 1393
从第三个数开始，每个数都是由前一个数的两倍加上再前一个数构成：例如，5 = 22 + 1，12 = 25 + 2，239 = 2*99 + 41。现在，从上面一行取出两个相邻的数字，再从下面一行取出位于第一个数字正下方的那个数字：例如
70 169
1. 将 99 和 169 相乘，得到 16,731。那么，如果你说 70 条对角线恰好等于 99 条边，那么你对对角线的认识就是有误差的，但这个误差的大小不超过对角线真实值的 1\/16,731。同样地，说 5 条对角线恰好等于 7 条边，所涉及的误差也不超过对角线真实值的 1\/84。
那么，为什么化方为对角线的问题没有像化圆为方的问题那样闻名呢？仅仅是因为欧几里得证明了第一个问题的不可能性，而第二个问题的不可能性直到上个世纪才被完全证明。
数学家们拥有许多彼此完全不同的方法，来得出同一个结果——即他们着名的圆周率近似值。在我们这个时代，一位无畏的计算者已将近似值推进到了他们所谓的607位小数：这是由霍顿勒斯的尚克斯先生完成的，而卢瑟福博士已验证了其中的441位。尽管607这个数字看起来很大，但公众对于所达到的精确度只会有一个模糊的概念。我们在查尔斯·奈特的《英国百科全书》中看到过对此事的描述，或许可以说明所获得的精确度是何等难以想象，尽管在理性上可以理解。
假设我们某种微生物的血球直径是百万分之一英寸。在想象中构造一个像我们地球一样的球体，但要大得多，以至于我们的地球在其某种微生物看来只是一个血球：不必在意观察这种生物所需的显微镜会是个相当庞大的仪器。称此为高于我们的第一级球体。让这第一级球体在尺寸上仅仅是一个血球，存在于一个更大球体的微生物中，称此为我们之上的第二级球体。以此类推，直到我们之上的第二十级球体。现在，在另一侧也同样向下延伸。让我们最初开始的那个血球成为一个居住着类似我们但体型更小的动物的球体：{110} 称此为我们之下的第一级球体。从这个球体中取一个血球，使其居住着生物，称此为我们之下的第二级球体：如此类推，直到我们之下的第二十级球体。这是一个向两端延伸的巨大跨度。现在，给我们之上第二十级球体的巨人那607位小数的圆周率，当他以与其体型相称的精度测量了他的球体直径后，让他根据这607位小数计算其赤道的周长。然后，从我们之下第二十级球体请来那位小哲学家，带着他最好的显微镜，让他去观察巨人必然会产生的微小误差。他将无法成功，除非他的显微镜相对于他的体型而言，比我们的显微镜相对于我们的体型要好得多。
现在，任何想嘲笑这种近似值之精确度的人必须记住，数学家通常能逼近得更接近；事实上，他的定理通常完全没有误差。那个被前面描述弄得晕头转向的人，可能很容易忘记，如果完全没有误差，即使是我们之下第一百万级球体的小人国居民，也无法在我们之上第一百万级球体的大人国居民的计算中找到任何瑕疵。一个形状绝对精确的三角形的三个角，绝对等于两个直角；无论将这种延伸推到多远，也检测不到任何误差。
现在想想拉科姆先生的数学顾问（见前文，第一卷，第46页），他竟然觉得难以就一个圆形地板所需铺石料的量给一位石匠提供建议！
我们现在为不擅长计算的读者用另一种方式来说明这个问题。我们看到，一位化圆为方者可以极其自信地断言，当直径为1,000时，周长精确为3,125：而数学家则宣称它比3,141?略多一点。如果化圆为方者是对的，那么数学家的误差就占了整体的约1\/200；或者说，他的账目在每100英镑中大约有10先令对不上。当然，如果他以这样的误差起步，他将会错上加错。现在，如果有一个过程{111}需要精确的圆的知识，那就是预测月亮在给定日期的位置——比如，越过格林尼治子午线的时刻。我们无法给出细节复杂性的哪怕最粗略的概念：但常识会告诉我们，如果一个数学家绕圆一周都会产生相对于股票经纪人佣金四倍大的误差，那么他试图预测月亮过中天的时间必定会错得离谱。那么，事实如何呢？他的误差小于一秒钟，而月亮绕行一周需要27天多。这就是说，尽管他在圆周计算上起步时每100英镑就有10先令的误差，但在预测月亮过中天时，他达到了每100英镑误差不到五分之一法寻的精度。现在我们不禁认为，尽管数学科学所受的尊重不小，但还不足以让这种说法被人接受。这种尊重是基于一种观念，即正确的结果源于正确的方法：人们很难相信，从错了几先令的数据出发，最终能得到精确到几法寻的真理。即使是爱丁堡那位着名的汉密尔顿——他认为数学中不存在出错的方法——也深信这是因为错误从一开始就被避免了。他从未说过一个起步就错的数学家不知何故最终必定会得出正确的结果。
一个具备常识的思考者，在应对那些他未曾进行过专业研究的课题时，总会面临一个难题。他必须对神学、政治、法律、医学和社会等事务形成自己的看法。如果他下定决心选择一位向导，那自然就没有困惑了：但在所有提到的这些领域，路标指向各不相同。那么，他为什么不能对一个抽象的数学问题形成自己的见解呢？为什么不能断定，关于圆的问题，詹姆斯·史密斯先生可能就是那个天选之人，就像亚当·史密斯是当时未来事物的先知，或者路德、伽利略是他们时代的先驱一样呢？
诚然，数学家在观点上的一致性，是其他任何群体都无法比拟的：但这仅仅意味着他们全体出错的可能性在程度上有所不同。而且更重要的是，在我们当中，不是普遍认为祭司和医生们错得最离谱的时候，恰恰正是他们看起来最团结一致的时候吗？
对于上述问题，我们看不到其他答案，唯有这一点：一旦个体研究者能使自己在数学领域达到与他在神学或医学领域同等的认知水平，他就可以像判断神学或医学问题一样，理性地自行判定一个数学问题。日常生活的思考和阅读，与学术领域所要求的思考和阅读有某种相似之处。在研究一个医学问题时所用的探究、证据权衡和概率评估，就其性质而言，与一个商人用来对市场做出结论的方法密切相关，尽管应用的具体内容不同。但是，数学家们有他们自己的一套方法，无论是结果的性质还是结论的特征，都与日常生活中的任何事物没有紧密的类比。数学的逻辑固然是常识的逻辑：但其数据的种类不同；它们不容置疑。一个像J.史密斯先生这样的算术专家，可能会幻想仅仅计算本身就是数学：但他的书的价值——从这个角度看价值不小——在于它充分展示了一个经验丰富的算术家，一旦冒险踏入数学证明的领域，可能会表现得完全缺乏那些将推理几何研究者与计算者区分开来的所有特质。
{113}
此外，应该记住，在数学中，验证结果的能力远远超过在其他任何领域中所能找到的能力；而且，达成同一结果的不同方法也多种多样。由此可知，一个希望尽可能接近真理的人，不会认为数学证明的结果像其他类型的结果那样，可以任由他评判。如果他感到必须做出决断，那也无妨：如果这能让他高兴，他的圆周率大可以是直径的3又1\/8倍。但我们必须警告他，为了得到这个圆，他必须像詹姆斯·史密斯先生那样，在家里自己动手造一个：空间和思维的法则只能恭敬地谢绝这份订单。