数学史纲要
以下内容摘自我在1849年某份周日报刊上看到的一段文字：
x.Y. —— 数学始于迦勒底人，埃及人则精于此道。其后，数学经由米利都的泰勒斯[110]传入希腊，并在那里得到毕达哥拉斯[111]、阿那克萨哥拉[112]和希俄斯的阿诺皮德斯[113]的大力发展。继之而起的有布里索[114]、安提丰【此处两位是化圆为方者；欧几里得何在？】和希波克拉底[115]。然而，代数之精妙艺术始于阿拉伯天文学家杰伯[116]，后由卡尔达诺[117]、塔尔塔利亚[118]、克拉维乌斯[119]、斯蒂文[120]、盖塔尔迪[121]、赫里吉尼乌斯[122]、弗朗西斯·范斯霍滕[123]、弗洛里蒙·德博梅[124]等人继承并发展。
布里索其人，见解有误。安提丰则生不逢时，其思想超越了时代。他提出了圆是边数无限多的多边形这一观念，后世的现代几何学对此观念推崇备至，应用极广。但在当时，他无法对此加以有效利用。然而，正是这个观念本身，使他在亚里士多德、欧托基奥斯[125]等人眼中成了诡辩家。杰伯，一位阿拉伯天文学家，在欧洲却被视为巫师，其名（Geber）似乎成了晦涩难懂之语的词源，即胡言乱语（gibberish）。曾有一段时间，人们认为（algebra）一词也源于他，这实在荒谬，尽管我曾听闻有人暗示与胡言乱语必定系出同源。
任何涉足化圆为方问题的人，都可能发现自己如同鹤立鹅群，身陷囹圄：安提丰是一例，奥利维埃·德塞尔[126]是另一例。后面这位先生通过称重法确定，圆的面积非常接近于圆内接等边三角形边长为边的正方形面积。其近似程度，犹如3.162...之于3.141...。他本人并未声称这是精确解，只说是近似值；但蒙蒂克拉等人误解了他的意思，更糟的是，他们误解了自己的误解，竟宣称他认为圆的面积正好等于该等边三角形面积的两倍。后来，拉克鲁瓦在他所注释的蒙蒂克拉《求积史》再版中，为德塞尔正名，使其得以摆脱这一不实之辞。
圣维图斯——求圆积者的主保圣人
以下是与这位首席司祭相关的出版物记录：
· 《圆的求积、角的三等分与立方体的倍积，由圣维图斯首席司祭多梅尼科·安盖拉牧师几何求解并证明》，马耳他，1854年，八开本。
· 《几何方程，摘录自首席司祭牧师就化圆为方问题致普利奇诺教授的信函》，米兰，1855或1856年，八开本。
· 《地中海报，马耳他公报》，1855年12月26日，第909号；另见第911、912、913、914、936、939号。
· 《马耳他时报》，1857年6月9日，星期二。
· 《圆的精确测量，由安盖拉牧师撰写》，马耳他，1857年，十二开本。
· 《化圆为方……由圣维图斯首席司祭安盖拉牧师撰写》，马耳他，1858年，十二开本。
我曾查阅圣徒名录寻找圣维图斯，虽未找到他的生平传说，但在最古老的历书中，他确实作为一个纪念日出现。他既被尊为首席司祭，其圣品自是无疑。现我宣布，并依据我在此课题上所费心力而获得的权利规定：圣维图斯——那位引领其信徒跳着永无休止、毫无意义舞蹈的圣徒——自此应被尊奉为所有化圆为方者的主保圣人。他的纪念日是6月15日，这天也属于圣莫德斯托斯，而这位圣徒通常与化圆为方者毫无瓜葛。化圆为方者切不可将自己置于一位圣徒名下，却暗地里牵涉另一位，正如那位带着含有圣普登西亚娜名号前来治理英格兰的红衣主教所为，此事颇堪忧虑，而圣普登西亚娜恰与圣邓斯坦共享同一纪念日。
这位圣维图斯首席司祭断言，半圆内接正方形的面积等于半圆面积的一半，换言之，圆的周长是直径的三又五分之一倍。他积极且能干，除了那些悖谬之论外，其人本身并无可指摘之处。在上述第二本小册子中，他罗列了各国君主及大臣等人的赞誉之辞：
· 路易·拿破仑致谢
· 都灵大臣将其转交科学院，并期望如此多的劳动能被判定为值得嘉奖
· 牛津大学副校长——一位直率的英国人——郑重声明本校从未提出过此问题
· 巴登摄政亲王表示以极大兴趣接受了该着作
· 维也纳科学院表示无法探讨此问题
· 都灵科学院致以最的感谢
· 秕糠学会只关注文学但仍表感谢
· 西班牙女王以最高赞赏接受了该着作
· 萨拉曼卡大学表示无限感激并为拥有此书感到满意
· 帕默斯顿勋爵通过秘书代转谢意
· 埃及总督因尚不精通意大利语，承诺待译本问世后将立即研读
所有这些都被郑重其事地刊印出来，仿佛能借此助长其证明的可信度。倘若这些来自王室的赞誉之辞，都无法让圆的周长比几何学所规定的数值增加约百分之二（而这正是他所需要的全部），那么王座摇摇欲坠也就不足为奇了。
我得知，圣维图斯的传说见于里瓦德内拉的《圣徒传》，并且巴罗尼乌斯在其《罗马殉道录》中提及了数位曾撰写过这位圣徒事迹的作者。詹姆森夫人的《神圣与传说艺术史》中亦有记述。但看来圣维图斯乃是所有舞蹈的主保圣人；因此，我奉他为求圆积者的保护圣人也并非全无道理。至于他为何常与公鸡一同出现，则是个有争议的问题——如今真相大白：除了雄鸡本身，再没有谁能像求圆积者那样如此高声啼鸣了。
关于圆周率的着名近似值
以下内容摘录自《英国百科全书》数学用表词条：
1853年，威廉·尚克斯《数学贡献——主要包含圆周率计算至607位小数》，伦敦，1853年。（圆的求积问题）这堪称一部数据表，因为它将这项庞大计算中每一步的中间结果都制表列出，直至小数点后527位；其余位数是在印刷过程中补充的最终结果。例如，其中一步是计算601.5的601次幂的倒数，并给出了结果。展示这些结果共需87页。尚克斯先生还顺手完成了其他计算，如同刨花般迸发而出：给出了奈皮尔对数的底数e，以及2、3、5、10的对数值（均至137位小数）；以及模数0.4342...至136位小数；还包括2的13次、25次、37次……直至721次幂的数值。
这些计算量惊人的延伸——至少在我们这个时代可以这么说——在多个方面都很有用：它们不仅证明了特定计算者付出劳动和保持精确的能力，更显示出社会整体在计算技能和勇气上的提升。我们说社会整体，是因为我们坚信，正如报纸上时不时会出现那个无与伦比的巨型芜菁的报道，这足以推定普通芜菁的个头正在变大，整体收成也在变重。所有了解化圆为方历史的人都知道，圆周率计算到小数位数的几次增加，都标志着整体计算能力的提升以及面对繁重计算劳动的勇气的增长。
这里可以比较两个不同的时代。在科克尔的年代，指导学生做普通减法时，会要求他们边算边念：4减7不够，借1当10，14减7等于7，写7记进1；8加进上来的1等于9，2减9不够…… 而我们眼前有一份未注明日期的公告，宣布在锡德纳姆水晶宫有两幅尺寸为7英尺2英寸乘6英尺6英寸的图表公开展示：数字9的912次幂及其前序各次幂的运算，包含超过73,000个数字。同时附有上述计算的验算过程，包含超过146,000个数字。由伦敦明辛巷的塞缪尔·范库尔特完成，他于1837年完成此项工作，时年十六岁。注：全部运算仅使用简单算术完成。 这位年轻的计算者通过连续平方的方法，计算了2的2次、4次、8次……直至512次幂，并用除法进行了验算。不过，如果采用简捷方法（即利用10-1=9的特性）连续乘以9，计算511次可能会容易得多。公告背面给出了2的2次、32次、64次、128次、256次和512次幂的数值。
2的幂次计算曾出于多种目的进行。在耶稣会士加斯帕·肖特于1658年在赫比波利（维尔茨堡）出版的四开本着作《自然与艺术的普遍魔力》第二卷中，他基于某种神学魔法的理由，发现圣母玛利亚的恩典等级数目是2的256次方，并计算出了这个数字。无论他的这个数字是否正确表达了他所宣称的结果，可以确定的是他正确地计算出了它——这一点通过与我们尚克斯先生的计算结果对比得到了证实。
关于尚克斯先生所计算的圆周率这608位数字，有一个细节或许本不值得特别关注，却依然引起了注意。人们或许会预期，在如此多的位数中，0到9这十个数字出现的次数应该大致相同，即每个数字大约出现61次。但实际情况却是：
· 数字 3 出现了 68 次；
· 数字 9 和 2 各出现了 67 次；
· 数字 4 出现了 64 次；
· 数字 1 和 6 各出现了 62 次；
· 数字 0 出现了 60 次；
· 数字 8 出现了 58 次；
· 数字 5 出现了 56 次；
· 而数字 7 仅仅出现了 44 次。
现在，假设所有数字出现的可能性均等，并且进行了608次抽取（即计算了608位），那么出现某个数字（比如7）的次数偏离其可能的平均值（比如61）达到如一侧低至44次或另一侧高至78次这样程度的概率，其可能性之低，赔率大约是45比1。数字7在圆周率的这个数值结构中，其出现次数如此之少，背后必定存在某种原因。
这便提供了一个可供推敲的领域，或许能让两类研究者联合起来探究。只有一个数字遭受了如此不公正的待遇，而这种不公若归因于偶然，则其概率低到令人难以置信——这个数字恰恰是那个充满神秘色彩的“七”！如果那些化圆为方者和那些热衷于解读《启示录》预言的人能够坐下来，共同研究这一现象，直到达成一致结论，并且在意见统一之前绝不轻易发表任何言论，那么他们必将赢得全人类的感激。——不过，我刚才说错了，真正应该被请教的对象，或许是那些金字塔奥秘的推测者。
我的一位朋友皮亚齐·史密斯教授的一位通信者注意到，数字3是出现频率最高的，而用简单数字表示的最接近圆周率的分数正是3又1\/7。史密斯教授本人，尽管他在埃及学上的许多观点被视为极高层次的悖论（尽管这些观点背后有大量扎实的研究工作作为支撑，并且这些工作的成果即使不接受其悖论部分的人也能加以利用），但他本人也倾向于从这些数字现象中，为他自己的某些理论找到佐证。
奇闻异算
这类计算上的奇谈，有时会作为新方法价值的例证出现。1863年，剑桥大学克莱尔学院的G.萨菲尔德硕士和圣约翰学院的J.R.伦恩硕士，为了展示萨菲尔德先生的综合除法法，公布了...（省略号代表被除数有多个零）除以7699的完整商，涵盖了整个循环节中的所有数字，该循环节长达7698位。
另一个为了演示方法而将计算推向极端长度的例子，是求解方程 x3 - 2x = 5。这个例子是牛顿方法的应用范例，后世所有改进的方法都以其为试金石。1831年，傅里叶关于方程的遗作出版，其中给出了耗时巨大、 巨量工作计算得到的33位解。我认为这是个好机会，可以借此展示w.G.霍纳方法的优越性——该方法当时在法国尚不为人知，在英国也知之甚少。于是在1841年，我向我的一班学生提议，以此为圣诞练习，要在这一点上超越傅里叶。我收到了好几份答案，彼此一致，都计算到了小数点后50位。1848年，我再次提出这个提议，要求超越50位；我得到的答案有75位、65位、63位、58位、57位和52位。但其中一份由邓多克海关署的w.哈里斯·约翰斯顿先生提交的答案，竟然计算到了小数点后101位！为了验证其准确性，我请约翰斯顿先生求解另一个方程，这个方程与上一个有某种关联（我当时并未说明）。他的求解结果验证了前一个解的正确性，但即便在他得到结果后，也未能看出两个方程之间的联系。我的读者可能同样感到困惑：这两个解分别是：
2.0...
9.0...
这些结果发表在《数学家》杂志第三卷第290页。1851年，我的另一位学生J.鲍尔·希克斯先生，在不知道约翰斯顿所做工作的情况下，将结果计算到了小数点后152位。该结果收录于《英国百科全书》的乘方与开方词条中。
我需要说明一下，当我只写教名的首字母时，通常指的是该首字母最常见对应的那个名字。我从未见过w.G.霍纳的全名，直到我询问了他的一位亲属才得知，正如我所料，他的全名是威廉·乔治，但他的名字是随一位姓此姓的亲戚起的。
2的平方根，计算到小数点后110位，是于1852年由我的学生威廉·亨利·科尔维尔先生（现任，1867年，巴格达民事军医）提供给我的。结果是：
1.
伯肯黑德的詹姆斯·斯蒂尔先生通过实际乘法验证了这个结果，并得出其平方为 2 -
\/ 1011?。
西尔维奥·费拉里男爵的十二进制算法。都灵，1854年，四开本。
这是一项严肃的提议，旨在改变我们的数字系统，采用十二进制。这样一来，10就代表十二，11代表十三，以此类推，需要为十和十一发明两个新的符号。数字的名称当然也必须更改。确实有人认为这种改变是可行的。我初次见到这个提议时觉得它很荒谬，现在依然这么认为。然而，我接下来要描述的那个提议，在这一点上完全超越了它，以至于我连对这个提议报以一笑的兴致都没有了。